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分步计数原理一题多解,让你彻底学会!

[03-14 17:04:00] ? 来源:http://www.jdxx5.com? 数学典例讲解 ? 阅读:92999

概要:1,2,3,4中任取一个,各有5种取法,即三位数有4×5×5=100(种)。 ∴ 共有4+20+100=124(种)不同的方法。 解法二(间接法): 首先从0,1,2,3,4中任取一个数字分别作为百位,十位,个位,则有5×5×5=125(种)取法。 又 ∵ 百,十,个位都取0时,得到的不是正整数,则应有125-1=124(种)不同取法。 (2)解法一: 要组成无重复数字的三位偶数,个位只能取0,2,4,百位不能取0,所以我们可以先从个数看起。 个 百 十 个位取0时 1×4×3=12(种) 个位取2或4时2×3×3=18(种)∴ 共有12+18=30(种)。 解法二: 从百位看起: 百 个 十 百位取1或3时2×3×3=18(种) 百位取2或4时2×2×3=12(种)∴ 共有18+12=30(种)。 解法三: 先不考虑偶数的要求,则可组成无重复数字的三位数有: 百 十 个 4×4×3=48(种)。 减去三位奇数:个 百 十 个位从1或3中取2×3×3=18(种)∴ 共有48-18=30(种)。 解法四: 由题意:百位不可以取0,则可以从0这个特殊元素入手,分为三类:个位取0,十位取0或三个数字都不取0。 个 百 十 则个位取0 1×4×3=12

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  例2.用0,1,2,3,4这一个数字。(1)组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?
  (2)组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法。

  解:(1)解法一(直接法):
  据题意,比1000小的正整数可以是一位数,两位或三位数三类。
  一位数的取法,从1,2,3,4中任取一个,即有4种。
  两位数:十位从1,2,3,4中任取一个,有4种取法,接着取个位从0,1,2,3,4中任取一个有5种取法,即4×5=20种。
  三位数:百位从1,2,3,4中取,有4种取法,个位,十位都可以从0,1,2,3,4中任取一个,各有5种取法,  即三位数有4×5×5=100(种)。
  ∴ 共有4+20+100=124(种)不同的方法。
  解法二(间接法):
  首先从0,1,2,3,4中任取一个数字分别作为百位,十位,个位,则有5×5×5=125(种)取法。
  又 ∵ 百,十,个位都取0时,得到的不是正整数,则应有125-1=124(种)不同取法。

  (2)解法一:
  要组成无重复数字的三位偶数,个位只能取0,2,4,百位不能取0,所以我们可以先从个数看起。
         个 百 十
  个位取0时   1×4×3=12(种)
  个位取2或4时 2×3×3=18(种)
  ∴ 共有12+18=30(种)。
  解法二:
  从百位看起:
         百 个 十
  百位取1或3时 2×3×3=18(种)
  百位取2或4时 2×2×3=12(种)
  ∴ 共有18+12=30(种)。
  解法三:
  先不考虑偶数的要求,则可组成无重复数字的三位数有:
  百 十 个
  4×4×3=48(种)。
  减去三位奇数: 个 百 十
  个位从1或3中取 2×3×3=18(种)
  ∴ 共有48-18=30(种)。
  解法四:
  由题意:百位不可以取0,则可以从0这个特殊元素入手,分为三类:个位取0,十位取0或三个数字都不取0。
        个 百 十
  则个位取0  1×4×3=12
        十 个 百
  十位取0   1×2×3=6
            个 百 十
  不选0,个位选2或4  2×3×2=12
  ∴ 共有12+6+11=30(种)。

  点评:在具体分类或分步时,要分析题目的要求,对元素(本题中0,1,2,3,4这些数字)和位置(百、十、个位)的特殊性进行识别,得到0,2,4为特殊元素(以下简称特元),百,个位为特位。在逐步分类,分步时,优先考虑特元,特位,如(2)中解法1,2,3先考虑百,个的特殊要求,即从特位入手;解法四从0出发,即特元出发进行分类。
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